یک روش عناصر متناهی کارا برای مسائل کنترل بهینه شامل معادلات پخش زمان–کسری مرتبه توزیع‌شده

وزیری دوقزلو, رویا; تبریزی دوز, حمیدرضا; شمسی, مصطفی

doi:10.22052/scj.2024.254306.1217

یک روش عناصر متناهی کارا برای مسائل کنترل بهینه شامل معادلات پخش زمان–کسری مرتبه توزیع‌شده

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

¹ گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه کاشان، کاشان، ایران

² دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر، دانشگاه صنعتی امیرکبیر، تهران، ایران

10.22052/scj.2024.254306.1217

چکیده

در این مقاله، یک روش عناصر متناهی برای تقریب جواب مسائل کنترل بهینه شامل معادلات پخش زمان-کسری مرتبه توزیع شده، معرفی می‌کنیم. دینامیک این مسائل شامل مشتقات زمان-کسری از مرتبه توزیع شده می‌باشد که تعمیمی از مشتقات کسری هستند. علیرغم اهمیت این مسائل، تحقیقات کمی در مورد حل آنها در منابع وجود دارد. روش‌های عددی برای حل مسائل کنترل بهینه به دو دسته کلی روش‌های غیرمستقیم و روش‌های مستقیم تقسیم می‌شوند. در روش‌های غیرمستقیم با استفاده از اصل پونتریاگین، شرایط لازم برای بهینگی به دست آمده و به صورت یک مساله مقدار مرزی دو نقطه‌ای غیرخطی بازنویسی می‌شود. از طرف دیگر، در روش‌های مستقیم با گسسته‌سازی متغیرهای کنترل و وضعیت، مساله مورد نظر به یک مساله برنامه‌ریزی غیرخطی تقلیل می‌یابد. به دلیل مشکلات مربوط به حل دستگاه معادلات حاصل از شرایط لازم برای بهینگی در مسائل کنترل بهینه شامل معادلات پخش زمان-کسری مرتبه توزیع شده، در این مقاله از دیدگاه روش‌های مستقیم برای تقریب جواب این مسائل استفاده می‌کنیم. به منظور تقریب مشتقات زمان-کسری مرتبه توزیع شده، رو‌ش‌های تقریبی گرانوالد-لتنیکف و L1 را مورد استفاده قرار داده و دو فرمول تقریبی برای مشتق به دست می‌آوریم. همچنین برای گسسته‌سازی مکانی از روش عناصر متناهی تکه‌ای خطی استفاده می‌کنیم. به این ترتیب، مساله اصلی را به یک مساله بهینه‌سازی درجه دو محدب تبدیل می‌کنیم که می‌تواند توسط الگوریتم‌های بهینه‌سازی موجود به طور کارا حل شود. برای اثبات کارایی و دقت روش ارئه شده، دو مثال عددی در نظر می‌گیریم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

ریاضی کاربردی

عنوان مقاله [English]

An Efficient Finite Element Method for Optimal Control Problems Involving Distributed-Order Time-Fractional Diffusion Equations

نویسندگان [English]

Roya Vaziri Doghezlou ¹
Hamid Reza Tabrizidouz ¹
Mostafa Shamsi ²

¹ Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematical Science, University of Kashan, Kashan, Iran

² Department of Mathematics and Computer Science, Amirkabir University of Technology, Tehran, Iran

چکیده [English]

In this paper, we present a finite element method to approximate the solution of optimal control problems involving distributed-order time-fractional diffusion equations. The dynamics of these problems involve distributed-order time-fractional derivatives, which are a generalization of fractional derivatives. Despite the importance of these problems, there exist few researches on their solving in the literatures. Numerical methods for solving optimal control problems are classified into two main categories, namely, indirect methods and direct methods. In the indirect methods, by using Pontryagin principle, the necessary conditions for optimality are derived and formulated as a nonlinear two-point boundary value problem. On the other hand, in the direct methods, by discretizing the control and state variables, the considered problem is reduced to a nonlinear programming problem. Due to the difficulties related to solving the system of equations resulting from the necessary conditions for optimality in optimal control problems involving distributed-order time-fractional diffusion equations, in this paper we use the approach of direct methods to approximate the solution of these problems. To approximate the distributed-order time-fractional derivatives, we employ the Grunwald-Letnikov and L1 approximation methods and derive two approximation formulas for derivative. Also for spatial discretization, we utilize the piecewise linear finite element method. Therefore, we transform the original problem into a convex quadratic optimization problem, which can be efficiently solved using existing optimization algorithms. We consider two numerical examples to demonstrate the efficiency and accuracy of the proposed method.

کلیدواژه‌ها [English]

Optimaⅼ ⅽontroⅼ probⅼems invoⅼving ⅾistributeⅾ−orⅾer time−fraⅽtionaⅼ ⅾiffusion equations
Ⅾireⅽt methoⅾs
Grünwaⅼⅾ−Ⅼetnikov
Finite eⅼement
approximation formuⅼas for ⅾerivative

مراجع

[1] D.E. Kirk, Optimal Control Theory: An Introduction. New York, NY, USA: Dover Publications, 2004.
[2] A. Padder, S. Almutairi, S. Qureshi, A. Afroz, E. Hincal, and A. Tassaddiq, “Dynamical analysis of generalized tumor model with caputo fractional-order derivative,” Fractal Fract., vol. 7, no. 3, pp. 1-19, 2023, doi: 10.3390/fractalfract7030258.
[3] N.P. Dong, H.V. Long, and A. Khastan, “Optimal control of a fractional order model for granular SEIR epidemic with uncertainty,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., vol. 88, pp. 1-32, 2020, doi: 10.1016/j.cnsns.2020.105312.
[4] G. Saikumar, K.K. Sahu, and P. Saha, “Design of fractional Order IMC for nonlinear chemical processes with time delay,” Int. J. Dyn. Control, vol. 11, pp. 1797-1807, 2023, doi: 10.1007/s40435-022-01087-0.
[5] S. Safiullah, A. Rahman, and S. A. Lone, “Optimal control of electrical vehicle incorporated hybrid power system with second order fractional-active disturbance rejection controller,” Optim. Control Appl. Methods, vol. 44, no. 3, pp. 905-934, 2021, doi: 10.1002/oca.2826.
[6] U.L. Ihtisham, A. Nigar, and K. S. Nisar, “An optimal control strategy and Grunwald-Letnikove finite-difference numerical scheme for fractional-order COVID-19 model,” Math. Model. Numer. Simul. Appl., vol. 2, no. 2, pp. 108-116, 2022, doi: 10.53391/mmnsa.2022.009.
[7] A. Jajarmi and D. Baleanu, “On the fractional optimal control problem with a general derivative operator,” Asian J. Control, vol. 23, no. 2, pp. 1062-1071, 2021, doi: 10.1002/asjc.2282.
[8] S.A. Yousefi, A. Lotfi, and M. Dehghan, “The use of a Legendre multiwavelet collocation method for solving the fractional optimal control problems,” J. Vib. Control, vol. 17, no. 13, pp. 2058-2065, 2011, doi: 10.1177/1077546311399950.
[9] A. Nemati, “Numerical solution of 2D fractional optimal control problems by the spectral method along with Bernstein operational matrix,” Int. J. Control, vol. 91, no. 10, pp. 1-19, 2018, doi: 10.1080/00207179.2017.1334267.
[10] S. Li and Z. Zhou, “Legendre pseudo-spectral method for optimal control problem governed by a time-fractional diffusion equation,” Int. J. Comput. Math., vol. 95, no. 6-7, pp. 1308-1325, 2018, doi: 10.1080/00207160.2017.1417591.
[11] O.P. Agrawal, “A general formulation and solution scheme for fractional optimal control problems,” Nonlinear Dyn., vol. 38, pp. 323-337, 2004, doi: 10.1007/s11071-004-3764-6.
[12] D. Baleanu, O. Defterli, and O.P. Agrawal, “A central difference numerical scheme for fractional optimal control problems,” J. Vib. Control, vol. 15, no. 4, pp. 583-597, 2009, doi: 10.1177/1077546308088565.
[13] E. Tohidi and H.S. Nik, “A Bessel collocation method for solving fractional optimal control problems,” Appl. Math. Model., vol. 39, no. 2, pp. 455-465, 2015, doi: 10.1016/j.apm.2014.06.003.
[14] A. Alizadeh and S. Effati, “An iterative approach for solving fractional optimal control problems,” J. Vib. Control, vol. 24, no. 1, pp. 18-36, 2018, doi: 10.1177/1077546316633391.
[15] A. Mushtaq, M. Shamsi, H. Khosravanian-Areb, D.F. Torres, and F. Bozorgnia, “A space-time pseudospectral discretization method for solving diffusion optimal control problems with two-sides fractional derivatives,” J. Vib. Control, vol. 25, no. 1, pp. 1-16, 2018, doi: 10.1177/1077546318811194.
[16] A.B. Salati, M. Shamsi, and D.F. Torres, “Direct transcription methods based on fractional integral approximation formulas for solving nonlinear fractional optimal control problems,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., vol. 67, pp. 334-350, 2019, doi: 10.1016/j.cnsns.2018.05.011.
[17] N. Kumar and M. Mehra, “Legendre wavelet collocation method for fractional optimal control problems with fractional Bolza cost,” Numer. Methods Partial Differ. Equ., vol. 37, no. 1, pp. 1-32, 2021, doi: 10.1002/num.22604.
[18] L. Liu, L. Feng, Q. Xu, L. Zheng, and F. Liu, “Flow and heat transfer of generalized Maxwell fluid over a moving plate with distributed order time fractional constitutive models,” Int. Commun. Heat Mass Transfer, vol. 116, pp. 1-8, 2020, doi: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2020.104679.
[19] H.V. Park, J. Choe, and J.M. Kang, “Pressure behavior of transport in fractal porous media using a fractional calculus approach,” Energy Sources, vol. 22, no. 10, pp. 881-890, 2000, doi: 10.1080/00908310051128237.
[20] K. Diethelm and N.J. Ford, “Numerical analysis for distributed-order differential equations,” J. Comput. Appl. Math., vol. 225, no. 1, pp. 96-104, 2009, doi: 10.1016/j.cam.2008.07.018.
[21] M.A. Zaky, “A Legendre collocation method for distributed-order fractional optimal control problems,” Nonlinear Dyn., vol. 91, no. 4, pp. 2667-2681, 2018, doi: 10.1007/s11071-017-4038-4.
[22] M.A. Zaky and J.A. Machado, “On the formulation and numerical simulation of distributed-order fractional optimal control problems,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., vol. 52, pp. 177-189, 2017, doi: 10.1016/j.cnsns.2017.04.026.
[23] P. Rahimkhani and Y. Ordokhani, “Numerical investigation of distributed-order fractional optimal control problems via Bernstein wavelets,” Optim. Control Appl. Methods, vol. 42, no. 2, pp. 355-373, 2021, doi: 10.1002/oca.2679.
[24] R. Vaziri Doghezlou, H.R. Tabrizidooz, and M. Shamsi, “A direct transcription method for solving distributed-order fractional optimal control problems,” J. Vib. Control, 2024, doi: 10.1177/10775463241238578.
[25] M. Bisheh Niasar and A. Mahdipour, “An adaptive mesh hybrid block method for solving nonlinear singularly perturbed differential equations,” Soft Comput. J., vol. 11, no. 1, pp. 140-150, 2022, doi: 10.22052/scj.2023.248415.1105 [In Persian].
[26] H.R. Tabrizidooz and F. Hajiramezanali, “A numerical algorithm for determining time-dependent coefficient in a parabolic inverse problem using Legendre multiwavelet base,” Soft Comput. J., vol. 10, no. 2, pp. 110-123, 2022, doi: 10.22052/scj.2022.243311.1028 [In Persian].
[27] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, and J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Netherlands: Elsevier, 2006.
[28] I. Podlubny, Fractional Differential Equations. Amsterdam, Netherlands: Elsevier, 1999.
[29] Y. Chen and I. Podlubny, Distributed-Order Dynamic System: Stability, Simulation, Applications and Perspectives. London, UK: Springer, 2012.
[30] C. Li and F. Zeng, Numerical Methods for Fractional Calculus. Boca Raton, FL, USA: CRC Press, 2015.
[31] C. Li and M. Cai, Theory and Numerical Approximations of Fractional Integrals and Derivatives. Philadelphia, PA, USA: SIAM, 2019.